第一章初等整數論　§2最大公約數，最小公倍數（中編）

前回は，2つ以上有限個の，0でない整数の公倍数は最小公倍数の倍数であること[定理1.3]と，2つ以上有限個の，すべてが0ではない整数の公約数は，最大公約数の約数であること[定理1.4]を証明しました．

それでは読んでいきましょう．

次ノ定理ハ二ツノ整數 $a,b$ ニ關スルモノデアル．

これまでは2つ以上でしたが，ちょうど2つに限定した話になるようです．

[定理1.5]　 $a,b$ ノ最小公倍數ヲ $l$ ，最大公約數ヲ $m$ トスレバ，

$ab=lm$

（但 $a\gt 0,b\gt 0,l\gt 0,m\gt 0$ ．トスル．）

有名な定理です．例えば，ユークリッドの互除法を用いて2つの数の最大公約数を求めることができるので，これを用いて最小公倍数を求めることができます．

この定理も，素因数分解の一意性によらずに証明できるようです．

[證]　 $l$ ハ $a,b$ ノ公倍數デアルカラ

(1)

$l=ab'=ba$

トスル．

$l=ab'=ba'$ の誤植でしょう． $l=ab'=ba'$ となる $a',b'$ が存在する，ということです．

サテ $ab$ ハ勿論 $a,b$ ノ公倍數デアルカラ， $ab$ ハ $l$ ノ倍數デアル（定理1.3）．

定理1.3は，「公倍数は，最小公倍数の倍数である」というものです．確かに $ab$ は $l$ の倍数です．

由テ

(2)

$ab=dl$

トスル．

$ab$ は $l$ の倍数なので，これを満たす $d$ が存在します．

(1)カラ $l$ ニ代入シテ

(3)

$a=da',b=db'$

ヲ得ル．故ニ $d$ ハ $a,b$ ノ公約數デアル．

たとえば， $ab=dl$ に $l=a'b$ を代入して計算すると， $a=da'$ が得られます．同様に $b=db'$ が得られます． $d$ は $a$ の約数でもあり， $b$ の約数でもあるので， $a,b$ の公約数です．

あとは，これが最大の公約数であることを示せばよいです．

由テ $m=de$ トスル（定理1.4）．

定理1.4は，「公約数は，最大公約数の約数である」というものでした． $d$ は $m$ の約数なので，このような $e$ （ただし， $e\geqq 1$ ）が存在します． $e=1$ を示せばよいです．

然ルニ $a,b$ ハ $m$ デ割リ切レルカラ(3)ニ於テ $a',b'$ ハ $e$ デ割リ切レル．

$m$ が $a$ の約数であることから $a=ma''$ となる $a''$ が存在するので，(3)より $ma''=da'$ です．ここで $m=de$ なので， $ea''=a'$ です．よって $a'$ は $e$ で割り切れます．

$b'$ についても同様です．

由テ $a'=ea'',~b'=eb''$ トシテ(1)ニ代入スレバ

$l=ab''e=ba''e$ ．

代入するとこのようになります．

若シモ $e\gt 1$ ナラバ， $l/e\lt l$ ガ $a,b$ ノ公倍数ニナル．コレ不合理デアル．故ニ $e=1$ ，従テ $m=d$ ．

背理法を使っているようですが，使わなくてもいけそうです．

上の式から $e$ は $l$ の約数です． $\dfrac le=ab''=ba''$ より $\dfrac le$ は $a,b$ の公倍数なので， $\dfrac le\geqq l$ です．よって $e\leqq 1$ なので， $e=1$ です．

故ニ(2)カラ $ab=lm$ ．

うーむ．公約数や公倍数を弄繰り回しているだけで証明できてしまうのですね．

$a,b,c,...$ ノ最大公約數ヲ $(a,b,c,...)$ ナル記號デ表ハスコトニスル．

もちろん，有限個の整数の組の場合です．

$(5,-10,20)=5,~(0,57)=57,~(1,-1)=1$

のようになります．

$a,b,c,...$ ガ $\pm 1$ 以外ノ公約數ヲ有セヌトキニハ，略シテ $a,b,c,...$ ハ公約數ヲ有セヌトイフ．コノ場合ニハ $(a,b,c,...)=1$ ．

略しすぎな気もしますが，それだけ「 $\pm 1$ 以外の公約数を有しない」という場合が出てくるのでしょうね．

ともあれ， $\pm 1$ は任意の整数の約数であるので， $\pm 1$ は必ず公約数になります．これら以外の公約数が存在しないなら，最大公約数は $1$ です．

特ニ二ツノ整數 $a,b$ ガ公約數ヲ有セヌトキニハ， $a,b$ ヲ互ニ素トモイフ．

お馴染み，互いに素です．「公約数を有しない」は，「公約数が $\pm 1$ のみである」の略だったので，「2つの整数の最大公約数が $1$ のとき」と言い換えてもよいでしょう．

次ノ定理ハシバシバ引用サレルモノデアルカラ特ニ大切デアル．

[定理1.6]　 $(a,b)=1$ デ，且 $bc$ ハ $a$ デ割リ切レルナラバ， $c$ ガ $a$ デ割リ切レル．

素因数分解を考えれば当たり前な気もしますが，これを用いて素因数分解の一意性を証明するのだ，と聞いたことがあります．どうやら，整数や素数の定義によっては，これが成り立たないこともあるようなのです．

現在は整数として有理整数のみを考えているのですが，他の整数ではどうなるか楽しみですね．

[證]　假定ニ由テ $(a,b)=1$ デアルカラ， $a,b$ ノ最小公倍数ハ $ab$ デアル（定理1.5）．

定理1.5とは， $ab=lm$ というものでした． $l$ が $a,b$ の最小公倍数， $m$ が $a,b$ の最大公約数ですね．いま $m=1$ なので， $l=ab$ です．

然ルニ假定ニ由テ $bc$ ハ $a$ ノ倍數，従テ $a,b$ ノ公倍數デアルカラ $bc$ ハ $ab$ ノ倍数デアル（定理1.3）．

$bc$ は $a$ の倍数でもあり， $b$ の倍数でもあるので， $a,b$ の公倍数です．

定理1.3とは，「公倍数は最小公倍数の倍数である」というものでしたから， $bc$ は最小公倍数 $ab$ の倍数です．

故ニ $\dfrac{bc}{ab}=\dfrac ca$ ハ整數，即チ $c$ ハ $a$ デ割リ切レル．

$c$ が $a$ の倍数であることを示すには， $bc$ が $ab$ の倍数であることを示せばよい，ということでした．確かに $b$ の情報をどこかに入れなければならないので，当然と言えば当然だったかもしれません．