第一章初等整數論　§1整數の整除（前編）

序文によれば，有理整数（有理数であって，整数であるもの）だけで考察できるのが，第一章なのでした．

1.　本章デハ整數ノ整除，倍數，約數ナドニ關スル最モ卑近ナル理論ヲ述ベル．

整除というのは，いわゆる「割り切れる」というやつです．倍数，約数はさすがに分かります．序文は漢字かな交じりだったのに，本文は漢字カナ交じりなんですね．

中ニハ周知ノ事項モアラウガ，一應根本カラ系統的ニ考察ヲシテオク必要ガアル．

それはそうですね．

本章デハ文字ハ必ズ整數ヲ表ハスノデアルカラ，一一ソレヲ斷ラナイ．

文字は必ず整数． $a$ とか $b$ とかのラテンアルファベットのことであって，ひらがなやカタカナのことではないでしょう．

尤モ整数トイウノハ

$\ldots\ldots{-3},-2,-1,0,1,2,3,\ldots\ldots \$

等，正及ビ負ノ整數ト $0$ トヲ總括シテ言フノデアル

$0$ から始まって， $1$ ずつ増やしていくと $0,~1,~2,~3,\dots$ となり，減らしていくと $0,~{-1},~{-2},~{-3},\dots$ となるのでした．よく知っている整数を具体的に述べています．

整數ノ和，差及ビ積ハ整數デアルガ，商ハ特別ナル場合ノ外ハ整數デナイ．

整数の和，差，積は整数です．ここでは認めてしまって先を急ぎます．

商が整数になったり整数にならなかったりするのは，具体例を示してしまえばよいですね．たとえば $2$ を $1$ で割ると $2$ となってこれは整数ですが， $1$ を $2$ で割ると $\dfrac 12$ となって，これは整数ではありません．

商 $a/b$ ガ整数 $q$ ニ等シイトキ，即チ

$a=bq\ (b\neq 0)$

ノトキ， $a$ ハ $b$ デ割リ切レルトイフ．

むむむ，違和感のある文です．「 $a$ は $b$ で割り切れる」は， $a,b$ に関する条件なのに，「 $a=bq\ (b\neq 0)$ 」は $a,b,q$ に関する条件です．後半は，「 $a=bq\ (b\neq 0)$ となる $q$ が存在するとき」という感じでしょうか．述語論理に毒されすぎでしょうか…

ともかく， $a/b$ が整数なら， $a$ は $b$ で割り切れるのでした． $6$ は $2$ で割り切れます，なぜなら $6/2=3$ だからです．みたいな意味ですね． $\dfrac ab$ と $a/b$ は同じ意味です．

又 $a$ ヲ $b$ ノ倍數， $b$ ヲ $a$ ノ約數トイフ．

まったくその通りです．先の例でいえば， $6/2=3$ なので $6$ は $2$ の倍数だし， $2$ は $6$ の約数です．

コノ定義ニ由レバ， $0$ ハ任意ノ整數 $b$ （但 $b\neq 0$ ）ノ倍數デアル．

$0$ でない任意の整数 $b$ に対し， $\dfrac 0b=0$ です． $0$ は整数なので確かに $0$ は任意の（ $0$ でない）整数の倍数だと言えますし，任意の（ $0$ でない）整数は $0$ の約数だと言えます．

$0$ は $0$ の倍数でしょうか．それは定義されていないので何とも言えません．定義する必要があるときに定義すればよいでしょう．

又 $|a|\lt|b|$ デ $a$ ガ $b$ デ割リ切レルトキハ， $a=0$ ．（ $\left|\dfrac ab\right|\lt1$ ガ整數デアルカラ，ソレハ $0$ ，從テ $a=0$ ．）

んん，一気に複雑になった気がします．大雑把に言えば， $a,b$ が正の整数のとき， $b$ より小さい整数 $a$ が $b$ の倍数になるのは， $a=0$ のときしかありえない，と言っているようです．

証明はカッコ内にありますね． $\dfrac{|a|}{|b|}=\left|\dfrac ab\right|\lt 1$ だから $-1\lt\dfrac ab\lt 1$ です． $\dfrac ab$ は整数なので $\dfrac ab=0$ です．よって $a=0$ です．

次の問題は「数学オリンピック事典」という本に載っていた問題です．

$11x+1$ が $x^2+3$ の倍数となるような正の整数 $x$ をすべて求めよ．

$x$ が大きいとき $11x+1\lt x^2+3$ となるので， $x$ の範囲を絞り込めそうです*1．

$11x+1$ は $0$ にならないので， $11x+1\geqq x^2+3$ でなければなりません．つまり $1\leqq x\leqq 10$ であることが必要です．このとき $11x+1$ が $x^2+3$ の倍数となるような $x$ を調べ上げれば， $x=1,5$ であることが分かります．

こんな感じで， $a$ が $b$ の倍数であるとき， $|b|$ が $|a|$ より小さくなるような $b$ が有限個しかないときは，時間さえかければ解決するはずです．

[定理1.1]　或ル整數ノ倍數ノ和，又ハ倍數ノ倍數ハソノ整數ノ倍數デアル．一般ニ $a_1,a_2,\cdots,a_n$ ガ $b$ ノ倍數ナラバ，

$a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n$

ハ $b$ ノ倍數デアル．

$a$ の倍数同士の和や， $a$ の倍数の整数倍は， $a$ の倍数です．当然な気がしてきます．定義に従って証明します．

[證]　 $\dfrac{a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n}b=\dfrac{a_1}bx_1+\dfrac{a_2}bx_2+\ldots+\dfrac{a_n}bx_n$

デ，假定ニ由テ右邊ハ整数ノ和デアルカラ．

ある数 $a$ が $b$ の倍数であるかどうかは， $\dfrac ab$ が整数であるかどうかを見ればよいのでした．ここでは

$\dfrac{a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n}b$

が整数であるかどうかが問題です．分配法則によって

$\dfrac{a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n}b=\dfrac{a_1}bx_1+\dfrac{a_2}bx_2+\ldots+\dfrac{a_n}bx_n$

とできます．ここで右辺に現れる $\dfrac{a_1}b,~\dfrac{a_2}b,~\dots,~\dfrac{a_n}b$ は整数であり，整数の積や和は整数であるので， $\dfrac{a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n}b$ も整数です．

*1:これが逆だと絞り込めず，無数の $x$ についての探索になってしまう．このようなときは別の手段に頼ることになるだろう．